强关联量子多体系统是当前凝聚态物理的重要前沿领域。重整化群（RG）方法以及从中发展出的张量网络（TN）方法是当前数值模拟强关联量子多体系统基态性质和有限温度性质的重要方法。通过Trotter-Suzuki分解，我们可以利用D+1维的热张量网络来描述D维的量子系统，并且通过重整化群的方法准确有效地计算系统的热力学性质。在有限温度的强关联量子多体系统中，低温临界系统以及有量子阻挫的系统受到广泛关注，它们会展现出一些奇特的量子物态例如量子相变点（quantum critical point）以及在低温临界区域中展示出的磁卡效应（magnetocaloric effect）等。因此人们发展出许多高效准确的算法来对低温区域进行模拟计算，例如基于有限温度密度矩阵重整化群算法（finite temperature density matrix renormalization group, finite temperature DMRG）方法发展出的转移矩阵重整化群算法（transfer matrix renormalization group,TMRG），利用张量网络表示发展出的线性张量网络重整化群算法（linearized tensor renormalization group, LTRG）。  

最近，本课题组基于线性张量网络重整化群算法，发展出双层线性张量网络重整化群算法（Bilayer LTRG）。因为双层线性张量网络重整化群算法只需倒温度为 的密度矩阵便可以模拟倒温度为 的密度矩阵，即仅需 的张量维度便可计算 维度的张量网络，所以双层算法相比原本单层的算法在模拟量子多体系统有限温度性质时在较小的计算代价下达到更高的精度（图1）。

图1：单层算法与双层算法计算有限长Heisenberg模型对比。(a)不同温度下自由能相对误差。(b)             和             时不同链长时自由能误差  

我们在文章中讨论了双层线性张量网络算法在有限尺寸模拟中与有限温度DMRG的等价性以及在无穷大系统中与TMRG本质上的等价性（图2），并且对费米子Hubbard模型以及临界区域的磁卡效应进行了有效的模拟计算（图3）。

图2：(a) 传统TMRG算法。(b) 双层LTRG算法，             为转移矩阵的主要左本征矢。(c) 双层LTRG算法中             的矩阵乘积态表示。  

图3：(a)–(c) 一维extendedHubbard模型在             时的等熵线。(d) 不同初始磁场的温度下绝热温变              

本工作作者董勇良、陈磊、刘耘婧均为北航物理系本科生，通讯作者为李伟副教授。本工作是在国家自然科学基金（No. 11504014），北航卓越百人计划和拔尖人才支持计划的资助下完成的。

目前，该工作“Bilayer linearized tensor renormalization group approach for thermal tensor networks”发表在Phys. Rev. B 95, 144428(2017)。该文章在线发表链接为https://journals.aps.org/prb/abstract/10.1103/PhysRevB.95.144428