拓扑半金属材料是最近凝聚态物理领域研究的热点，其电子能带结构中会出现位于费米面附近的能带交叉点。这些交叉点决定了低能电子的行为，进而导致了各种与普通金属不同的电子性质。在各种各样的能带交叉中，最重要的两个例子是二重简并的外尔点(Weyl point)和四重简并的狄拉克点(Dirac point) （这里我们讨论的是三维体系，对二维体系来说，其命名方式和对称/拓扑保护会有所不同，参见S. A. Yang, arXiv:1609.06482）。一个Dirac point可以看作是两个手性相反的Weyl point叠加在了一起。一般来说，一个孤立的Weyl point本身就是拓扑稳定的，不需要额外的对称性保护（除了晶格的平移对称性）。而对Dirac point来说，它的稳定存在一定需要一些额外的晶格对称性保护。
我们通常说体系具有某种对称性是指体系在相应的对称操作下保持不变。比如说三度旋转对称性，就是指晶体结构在沿着某个晶体轴的120度的旋转操作下保持不变。根据对称性，我们可以把Dirac point分成两类：把完全由对称性决定的狄拉克电子态称为必然的狄拉克点(essential Dirac point)；而由对称性与其他因素，例如能带反转（bandinversion）等非对称性因素共同作用产生的狄拉克点称为偶然的狄拉克点（accidental Diracpoint）。Essential和accidental的重要区别在于accidental Dirac point 可以在保持体系对称性的条件下通过改变体系参数（比如晶格参数）而消除，但是essential Dirac point 不可以。就出现的位置而言，essentialDirac point一般来说出现在高对称点上（也有在高对称线上的情况）；而对accidental Diracpoint，由于对称性的作用或者说限制相对来说不强，其出现的位置更加自由，一般在高对称线上出现。
另一方面，Dirac point按照色散关系也可以被分为type-I型和type-II型。对type-I型来说，在所有k方向上，两条能带的色散斜率都为一正一负【如图1(a)的情况】。而对type-II型，则存在至少一条方向，沿着这个方向两个能带色散斜率都为正或都为负【如图1(b)】。一般来说，位于高对称点上的essential Dirac point是type-I的，而在高对称线上的accidental Dirac point则可能是type-I也可能是type-II。
图 1：（a）type-I型以及（b）type-II型的accidental狄拉克点（c）为essential狄拉克点。
下面，笔者就以CaAgBi这一类具体的实际材料，来详细地谈一谈这三种不同的狄拉克费米子与各种对称性的关系【文献Phys. Rev. Materials 1, 044201 (2017)】。
CaAgBi属于三元wurtzite结构，如图2所示，与一般的狄拉克半金属不同的是，这种材料破缺了空间反演对称性。文章中把[110]方向作为x轴方向，那么晶体就具有（110）面的镜面对称Mx，另外还有两个非常重要的晶格对称性，分别为三重旋转对称性C3z以及二重螺旋对称性
。
图 2：CaAgBi晶体结构以及对应的布里渊区
文章首先讨论了该材料的能带结构，发现在kz方向上有三个狄拉克点，分别标记为D1，D2以及D3【见图3（b）】。其中D1为type-I型，D2为type-II型，而D3为必然简并的狄拉克点。对这三个狄拉克点进行对称性分析：1）偶然简并的情况，kz方向上能带二重简并，这是由于kz方向上旋转对称性与镜面对称性反对易，同一能量的本征态不可能既为C3z的本征态又是Mx的本征态，因此同一能带必然有二重简并。而在kx-ky方向上，当脱离了旋转轴后，失去了S2z与C3z的选择对称性的保护，能级简并解除。值得注意的是，大多数狄拉克材料，由于具有空间反演对称性与时间反演对称性的联合保护，其能带结构在任意k点都为二重简并。而CaAgBi这种材料，在
方向上的D1点以及D2点，脱离了旋转轴之后，二重简并解除，出现了能带完全分开的狄拉克锥，可以视为由两种不同的费米速度的手征不同的费米子组成。这是一种新型的狄拉克费米子，可以在界面输运上体现出双折射的效应，因此我们可以称之为双折射Dirac费米子(birefringent Dirac fermion)。2）必然简并的情况，此时的狄拉克费米子由S2z，Mx，C3z三种空间对称性以及时间反演对称性共同保护，经分析，发现在A点存在|s>, Mx|s>, T|s>, TMx|s> 四种不同的态。此时，非简单空间群对称性S2z发挥了至关重要的作用。
先前所提所谓偶然与必然简并只是一个相对的概念，可以通过几个简单的操作来加深认识。之所以称为偶然，是由于它们具有一定的不稳定性，比如，D1点就依赖材料的种类，当不改变晶格对称性而将Bi原子替换为As原子时，D1点消失，也就是说E3/2与E5/2的能级反转消失（E1/2，E3/2，E5/2为能带的几个不可约表示）。而D2点，当我们施加均匀应力改变其晶格常数大小而保持其晶格对称性时，就可以把D2点消除。相反地，无论是替换原子还是施加应力，D3点都依旧坚强地存活着，因此称之为必然的狄拉克点，仅仅由对称性决定。
感兴趣的同学可以进一步阅读这篇发表在［PhysicalReview Materials1, 044201 (2017)］的原文，这篇文章主要是北京航空航天大学物理学院的研究生陈聪同学（第一作者）在新加坡科技设计大学访问期间，在余智明博士*、胜献雷老师*（通讯作者）和杨声远老师共同指导下完成的。其他参与该工作的合作者有博士生王珊珊、刘影、刘磊，和陈子瑜老师。
图 3：(a) CaAgBi的能带图（带自选轨道耦合），红圈代表Ag-s轨道的贡献，绿圈代表Bi-px/y轨道的贡献，蓝圈代表pz轨道的贡献。
（b）G-A方向上能带图。(c)-(e) 三个狄拉克点附近的能带结构，Xi为垂直kz方向的任意一条路径，红线为第一原理计算结果，蓝线为k.p拟合结果。(f)-(h) 三个狄拉克点在kx-ky平面上的三维能带图。
图4：（a）CaAgBi结构（001）面上的表面态，其中狄拉克锥埋藏在体态的价带中；（b）-0.18 eV能量截面的表面态，显示出左手螺旋的spin texture；（c）CaAgAs结构（010）面上的表面态，（d）相应的连接一对狄拉克点的费米弧。
图5：瓦尼尔函数心的Wilsion loop，（a）为kz=0的面，（b）为kz=π的面。
图6：（a）为CaAgAs包含自旋轨道耦合的能带，红圈代表Ag_s轨道，绿圈代表As_px/y轨道，蓝圈代表As_pz轨道，圈的大小表示权重。（b）
G-A方向上能带图。
图7：p-n结中沿x方向的狄拉克费米子输运示意图。（a）D1点附近n区与p区的费米圈。（b）负折射效应。（c）双负折射效应。（d）加入偏压且特定角度下，只有内部的费米圈上的电子能进行传输。
图8：其他几种材料的能带结构，上一行不包含自旋轨道耦合，下一行包含自旋轨道耦合，其中（a）（d）为CaAuSb，（b）（e）为CaAuBi，（c）（f）为SrAgBi。
参考文献：
C. Chen,S.-S.Wang,L. Liu,Z.-M.Yu,X.-L.Sheng,Z Chen,and S.A. Yang, Phys. Rev. Materials 1, 044201 (2017).
文章链接：
https://journals.aps.org/prmaterials/abstract/10.1103/PhysRevMaterials.1.044201
